二分檢索是查找有序數組最簡單然而最有效的算法之一?,F在的問題是,更復雜的算法能不能做的更好?我們先看一下其他方法。
有些情況下,散列整個數據集是不可行的,或者要求既查找位置,又查找數據本身。這個時候,用哈希表就不能實現O(1)的運行時間了。但對有序數組, 采用分治法通??梢詫崿FO(log(n))的最壞運行時間。
在下結論前,有一點值得注意,那就是可以從很多方面“擊敗”一個算法:所需的空間,所需的運行時間,對底層數據結構的訪問需求。接下來我們做一個運行時對比實驗,實驗中創建多個不同的隨機數組,其元素個數均在10,000到81,920,000之間,元素均為4字節整型數據。
二分檢索
二分檢索算法的每一步,搜索空間總會減半,因此保證了運行時間。在數組中查找一個特定元素,可以保證在?O(log(n))時間內完成,而且如果找的正好是中間元素就更快了。也就是說,要從81,920,000個元素的數組中找某個元素的位置,只需要27個甚至更少的迭代。
由于二分檢索的隨機跳躍性,該算法并非緩存友好的,因此只要搜索空間小于特定值(64或者更少),一些微調的二分檢索算法就會切換回線性檢索繼續查找。然而,這個最終的空間值是極其架構相關的,因此大部分框架都沒有做這個優化。
快速檢索;最后回歸到二分檢索的快速檢索
如果由于某些原因,數組長度未知,快速檢索可以識別初始的搜索域。這個算法從第一個元素開始,一直加倍搜索域的上界,直到這個上界已經大于待查關鍵字。之后,根據實現不同,或者采用標準的二分檢索查找,或者開始另一輪的快速檢索。前者可以保證O(log(n))?的運行時間,后者則更接近O(n)的運行時間。
如果我們要找的元素比較接近數組的開頭,快速檢索就非常有效。
抽樣檢索
抽樣檢索有點類似二分檢索,不過在確定主要搜索區域之前,它會先從數組中拿幾個樣例。最后,如果范圍足夠小,就采用標準的二分檢索確定待查元素的準確位置。這個理論很有趣,不過在實踐中執行效果并不好。
插值檢索;最后回歸到順序查找的插值檢索
在被測的算法中,插值檢索可以說是“最聰明”的一個算法。它類似于人類使用電話簿的方法,它試圖通過假設元素在數組中均勻分布,來猜測元素的位置。
首先,它抽樣選擇出搜索空間的開頭和結尾,然后猜測元素的位置。算法一直重復這個步驟,直到找到元素。如果猜測是準確的,比較的次數大概是O(log(log(n)),運行時間大概是O(log(n));但如果猜測的不對,運行時間就會是O(n)了。
插值檢索的一個改進版本是,只要可推測我們猜測的元素位置是接近最終位置的,就開始執行順序查找。相比二分檢索,插值檢索的每次迭代計算代價都很高,因此在最后一步采用順序查找,無需猜測元素位置的復雜計算,很容易就可以從很小的區域(大概10個元素)中找到最終的元素位置。
圍繞插值檢索的一大疑問就是,O(log(log(n))的比較次數可能產生O(log(log(n))的運行時間。這并非個案,因為存儲訪問時間和計算下一次猜測的CPU時間相比,這兩者之間要有所權衡。如果數據量很大,而且存儲訪問時間也很顯著,比如在一個實際的硬盤上,插值檢索輕松擊敗二分檢索。然而,實驗表明,如果訪問時間很短,比如說RAM,插值檢索可能不會產生任何好處。
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試驗結果
試驗中的源代碼都是用Java寫的;每個實驗在相同的數組上運行10次;數組是隨機產生的整型數組,存儲在內存中。
在插值檢索中,首先會采用抽樣檢索,從檢索空間拿20個樣例,以確定接下來的搜索域。如果假定的域只有10個或更少的元素,就開始采用線性檢索。另外,如果這個搜索域元素個數小于2000,就回退到標準的二分檢索了。
作為參考,java默認的Arrays.binarySearch算法也被加入實驗,以同自定義的算法對比運行時間。
盡管我們對插值檢索期望很高,它的實際運行時間并未擊敗java默認的二分檢索算法。如果存儲訪問時間長,結合采用某些類型的哈希樹和B+樹可能是一個更好的選擇。但值得注意的是,對均勻分布的數組,組合使用插值檢索和順序檢索在比較次數上總能勝過二分檢索。不過平臺的二分檢索已經很高效,所以很多情況下,可能不需要用更復雜的算法來代替它。
原始數據 – 每個檢索的平均運行時間
Size |
Arrays. |
Interpolation |
Interpolation |
Sampling |
Binary |
Gallop |
Gallop |
10,000 | 1.50E-04 ms | 1.60E-04 ms | 2.50E-04 ms | 3.20E-04 ms | 5.00E-05 ms | 1.50E-04 ms | 1.00E-04 ms |
20,000 | 5.00E-05 ms | 5.50E-05 ms | 1.05E-04 ms | 2.35E-04 ms | 7.00E-05 ms | 1.15E-04 ms | 6.50E-05 ms |
40,000 | 4.75E-05 ms | 5.00E-05 ms | 9.00E-05 ms | 1.30E-04 ms | 5.25E-05 ms | 1.33E-04 ms | 8.75E-05 ms |
80,000 | 4.88E-05 ms | 5.88E-05 ms | 9.88E-05 ms | 1.95E-04 ms | 6.38E-05 ms | 1.53E-04 ms | 9.00E-05 ms |
160,000 | 5.25E-05 ms | 5.94E-05 ms | 1.01E-04 ms | 2.53E-04 ms | 6.56E-05 ms | 1.81E-04 ms | 9.38E-05 ms |
320,000 | 5.16E-05 ms | 6.13E-05 ms | 1.22E-04 ms | 2.19E-04 ms | 6.31E-05 ms | 2.45E-04 ms | 1.04E-04 ms |
640,000 | 5.30E-05 ms | 6.06E-05 ms | 9.61E-05 ms | 2.12E-04 ms | 7.27E-05 ms | 2.31E-04 ms | 1.16E-04 ms |
1,280,000 | 5.39E-05 ms | 6.06E-05 ms | 9.72E-05 ms | 2.59E-04 ms | 7.52E-05 ms | 2.72E-04 ms | 1.18E-04 ms |
2,560,000 | 5.53E-05 ms | 6.40E-05 ms | 1.11E-04 ms | 2.57E-04 ms | 7.37E-05 ms | 2.75E-04 ms | 1.05E-04 ms |
5,120,000 | 5.53E-05 ms | 6.30E-05 ms | 1.26E-04 ms | 2.69E-04 ms | 7.66E-05 ms | 3.32E-04 ms | 1.18E-04 ms |
10,240,000 | 5.66E-05 ms | 6.59E-05 ms | 1.22E-04 ms | 2.92E-04 ms | 8.07E-05 ms | 4.27E-04 ms | 1.42E-04 ms |
20,480,000 | 5.95E-05 ms | 6.54E-05 ms | 1.18E-04 ms | 3.50E-04 ms | 8.31E-05 ms | 4.88E-04 ms | 1.49E-04 ms |
40,960,000 | 5.87E-05 ms | 6.58E-05 ms | 1.15E-04 ms | 3.76E-04 ms | 8.59E-05 ms | 5.72E-04 ms | 1.75E-04 ms |
81,920,000 | 6.75E-05 ms | 6.83E-05 ms | 1.04E-04 ms | 3.86E-04 ms | 8.66E-05 ms | 6.89E-04 ms | 2.15E-04 ms |
原始數據 – 每個檢索的平均比較次數
Size |
Arrays. |
Interpolation |
Interpolation |
Sampling |
Binary |
Gallop |
Gallop |
10,000 | ? | 10.6 | 17.6 | 19.0 | 12.2 | 58.2 | 13.2 |
20,000 | ? | 11.3 | 20.7 | 19.0 | 13.2 | 66.3 | 14.2 |
40,000 | ? | 11.0 | 16.9 | 20.9 | 14.2 | 74.9 | 15.2 |
80,000 | ? | 12.1 | 19.9 | 38.0 | 15.2 | 84.0 | 16.2 |
160,000 | ? | 11.7 | 18.3 | 38.0 | 16.2 | 93.6 | 17.2 |
320,000 | ? | 12.4 | 25.3 | 38.2 | 17.2 | 103.8 | 18.2 |
640,000 | ? | 12.4 | 19.0 | 41.6 | 18.2 | 114.4 | 19.2 |
1,280,000 | ? | 12.5 | 20.2 | 57.0 | 19.2 | 125.5 | 20.2 |
2,560,000 | ? | 12.8 | 22.7 | 57.0 | 20.2 | 137.1 | 21.2 |
5,120,000 | ? | 12.7 | 26.5 | 57.5 | 21.2 | 149.2 | 22.2 |
10,240,000 | ? | 13.2 | 25.2 | 62.1 | 22.2 | 161.8 | 23.2 |
20,480,000 | ? | 13.4 | 23.4 | 76.0 | 23.2 | 175.0 | 24.2 |
40,960,000 | ? | 13.4 | 21.9 | 76.1 | 24.2 | 188.6 | 25.2 |
81,920,000 | ? | 14.0 | 19.7 | 77.0 | 25.2 | 202.7 | 26.2 |
源代碼
點此獲取檢索算法的完整源代碼。注意,代碼不是產品級別的;比如,在某些例子里,可能有過多或過少的范圍檢查。