假如你對數獨解法感興趣，你可能聽說過精確覆蓋問題。給定全集?X?和?X?的子集的集合?Y?，存在一個 Y 的子集 Y*，使得 Y* 構成 X 的一種分割。
這兒有個Python寫的例子。
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Y = {
'A': [1, 4, 7],
'B': [1, 4],
'C': [4, 5, 7],
'D': [3, 5, 6],
'E': [2, 3, 6, 7],
'F': [2, 7]}
這個例子的唯一解是['B', 'D', 'F']。
精確覆蓋問題是NP完備（譯注：指沒有任何一個夠快的方法可以在合理的時間內，意即多項式時間 找到答案）。X算法是由大牛高德納發明并實現。他提出了一種高效的實現技術叫舞蹈鏈，使用雙向鏈表來表示該問題的矩陣。
然而，舞蹈鏈實現起來可能相當繁瑣，并且不易寫地正確。接下來就是展示Python奇跡的時刻了！有天我決定用Python來編寫X?算法，并且我想出了一個有趣的舞蹈鏈變種。
算法
主要的思路是使用字典來代替雙向鏈表來表示矩陣。我們已經有了?Y。從它那我們能快速的訪問每行的列元素?，F在我們還需要生成行的反向表，換句話說就是能從列中快速訪問行元素。為實現這個目的，我們把X轉換為字典。在上述的例子中，它應該寫為
X = {
1: {'A', 'B'},
2: {'E', 'F'},
3: {'D', 'E'},
4: {'A', 'B', 'C'},
5: {'C', 'D'},
6: {'D', 'E'},
7: {'A', 'C', 'E', 'F'}}
眼尖的讀者能注意到這跟Y的表示有輕微的不同。事實上，我們需要能快速刪除和添加行到每列，這就是為什么我們使用集合。另一方面，高德納沒有提到這點，實際上整個算法中所有行是保持不變的。
以下是算法的代碼。
def solve(X, Y, solution=[]):
if not X:
yield list(solution)
else:
c = min(X, key=lambda c: len(X[c]))
for r in list(X[c]):
solution.append(r)
cols = select(X, Y, r)
for s in solve(X, Y, solution):
yield s
deselect(X, Y, r, cols)
solution.pop()
def select(X, Y, r):
cols = []
for j in Y[r]:
for i in X[j]:
for k in Y[i]:
if k != j:
X[k].remove(i)
cols.append(X.pop(j))
return cols
def deselect(X, Y, r, cols):
for j in reversed(Y[r]):
X[j] = cols.pop()
for i in X[j]:
for k in Y[i]:
if k != j:
X[k].add(i)
真的只有 30 行！
格式化輸入
在解決實際問題前，我們需要將輸入轉換為上面描述的格式?？梢赃@樣簡單處理
X = {j: set(filter(lambda i: j in Y[i], Y)) for j in X}
但這樣太慢了。假如設 X 大小為 m，Y 的大小為 n，則迭代次數為 m*n。在這例子中的數獨格子大小為 N，那需要 N^5 次。我們有更好的辦法。
X = {j: set() for j in X}
for i in Y:
for j in Y[i]:
X[j].add(i)
這還是 O(m*n) 的復雜度，但是是最壞情況。平均情況下它的性能會好很多，因為它不需要遍歷所有的空格位。在數獨的例子中，矩陣中每行恰好有 4 個條目，無論大小，因此它有N^3的復雜度。
優點
- 簡單:?不需要構造復雜的數據結構，所有用到的結構Python都有提供。
- 可讀性:?上述第一個例子是直接從Wikipedia上的范例直接轉錄下來的！
- 靈活性:?可以很簡單得擴展來解決數獨。
求解數獨
我們需要做的就是把數獨描述成精確覆蓋問題。這里有完整的數獨解法代碼，它能處理任意大小，3×3，5×5，即使是2×3，所有代碼少于100行，并包含doctest?。ǜ兄xWinfried Plappert 和 David Goodger的評論和建議）